เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} โดยที่ r {\displaystyle r} คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)

x ( t + 1 ) = δ ( t + 1 ) ∗ x ( t ) {\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

x ~ 1 = T 1 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}

โดยที่ x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} คือฟังก์ชันนิยามโดย

x ~ = x ( t ) ∀ t ∈ R {\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

x ~ 1 = x ( t + 1 ) ∀ t ∈ R {\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }

โดยจะเห็นได้ว่า T 1 {\displaystyle \mathbb {T} _{1}} คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) H {\displaystyle \mathbb {H} } ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้

T r H = H T r ∀ r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

y ~ = H x ~ {\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง H {\displaystyle \mathbb {H} } ต่อ x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} กับ H {\displaystyle \mathbb {H} } ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ H {\displaystyle \mathbb {H} } ก่อนกับ x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} จะได้

T r H x ~ = T r y ~ = y ~ r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}

โดยการดำเนินการเลื่อน T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} ต่อ x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} ก่อนจะได้

H T r x ~ = H x ~ r {\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

H x ~ r = y ~ r {\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}